功率谱密度(维纳辛钦定理及其证明)

频谱、功率谱、倍频程谱、1/3倍频程谱

在做声学信号处理时，经常会遇到以下概念：能谱、功率谱、倍频程谱、1/3倍频程谱，它们是不同的，又是相关的。当人们谈论问题时，他们经常混淆这些概念。以下将对这些术语进行整理，并记录在这里。其中，对功率谱密度概念的准确解释需要一点平稳随机过程的知识。考虑到大多数人对随机过程了解不多，我尝试用傅立叶分析最简单的基本概念来解释。这个虽然不严谨，但是对于我们普通的应用来说已经足够了。

时域信号可以表示为时间t 的函数x(t)。如果这个信号满足绝对可积条件，即要求：

，那么这个信号有傅里叶变换：

其中X(f) 称为信号的频率谱密度，简称频谱 (spectrum)。|X(f)| 称为振幅谱 (amplitude spectrum)，argX(f) 称为相位谱 (phase spectrum)。

信号的能量定义为：

对于能量无限大的信号，我们可以计算出它的平均功率；

对于能量无限但是平均功率有限的信号，我们称之为功率信号。由帕塞瓦尔 (Parseval) 等式可知有如下等式：

其中第一项我们通常称为信号的能量，因此，|X(f)|² 就被称为信号的能量谱密度，简称能谱 (Energy spectrum)。

对于功率信号：

此时我们称：

为信号的功率谱密度 (power spectral density, PSD)，或者谱功率分布 (spectral power distribution, SPD)，简称功率谱 (power spectrum)。功率谱密度的单位通常用每赫兹的瓦特数 (W/Hz) 表示。

信号的功率谱密度，信号自相关函数的傅里叶变换。只有当且仅当信号是广义的平稳过程的时候，功率谱密度才存在。如果信号不是平稳过程，那么自相关函数一定是两个变量的函数，这样就不存在功率谱密度，但是可以使用类似的技术估计时变谱密度。我们看到求取功率谱密度时有个取极限的过程。实际计算时，通常是取有限的一段时间，并对信号采样。设采集频率为fs，采样时间间隔为Δ。那么，离散信号x[n] 与连续信号x(t) 的关系如下：

此时的平均功率为：

离散傅里叶变换表达式如下：

这里Xm对应的频率为：

由帕塞瓦尔 (Parseval) 等式可知有如下等式：

因此，功率谱密度的估计公式如下：

这里计算功率谱密度时，由于每个Xm实际上是fs，所以除以fs/N。

倍频程功率谱

在音频分析领域，经常需要分析音频信号的频谱，最常用的是倍频程功率谱和1/3倍频程功率谱。所谓倍频程功率谱，就是把音频分成频段，然后分别计算每个频段的功率谱。相邻频段的宽度是二比一。1/3八度就是把八度细分为三段。下表给出了IEC推荐的频段划分方法。

由于每个频段的宽度不同，画出的倍频程谱与普通功率谱有很大不同。八度功率谱的存在有历史原因。在数字信号处理技术普及之前，人们通过设计一系列滤波器和测量滤波器的输出功率来确定其频谱。我们不能把频带划分的很细，所以人们就按照八度来设计滤波器(按照八度设计的滤波器Q值是一样的，所以可以用同类型不同参数的滤波器组来实现)。

不过倍频功率谱可以用DFT技术计算。方法很简单，只要把DFT计算出的每个子带在一个八度内的功率叠加就可以了。为了准确计算结果，每个八度至少要有3到4条谱线。我们知道，频率八度越低，带宽越窄，所以只要最低的八度能满足这个条件，其他八度当然也能满足。1/3八度的计算也差不多。

但是用这种方式计算出来的倍频程功率谱和滤波器组得到的倍频程功率谱有些区别。原因是滤波器组的截止特性不如DFT结果。此外，在进入滤波器组之前，信号会被一个预滤波器提前，即对信号进行加权，通常称为A加权、B加权和C加权。具体参考IEC《声级计标准》，写的很清楚。

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